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[学习点滴] 关于π,你不知道的3x1x4个真相

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 楼主| 发表于 2017-3-28 20:00:12 | 显示全部楼层 |阅读模式

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1

π决定了曲流河的蜿蜒程度

这是π在现实中最惊人的应用之一:一条平原上的河流,它的曲折程度——也就是河道的总长度除以源头到入海口的直线距离——随着时间推移会趋向于π。

现实中没有那么理想的河流,平原河的这个数值更可能比π稍微低一点儿。但是在数学中没有这个问题——1996年数学家Hans-Henrik Stlum在《科学》上发表论文证明了这一点。

不过这也没那么神秘,想象一下一条由许多圆弧交替拼接组成的河流,就能直觉上理解为何这个数值是π了。



图片来源:google



图片作者可能是blog.matthen.com

下面两张图是作者汉斯-亨里克斯托罗姆(Hans-Henrik Stolum)用纯粹的数学公式推演出来的河流演化,可以和上图对比一下。





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 楼主| 发表于 2017-3-28 20:00:13 | 显示全部楼层


2

π里包含了所有可能的数字组合吗?

答案是“不知道,大概吧”

虽然在《疑犯追踪》里宅总有那个著名的演讲,声称π包含了一切,也有很多由此衍生而来的段子(不要在你的硬盘上存储π,因为它侵犯了有史以来所有可能的版权,包含了全世界所有国家的所有最高机密,等等),但这一点并没有得到数学上的证明。再强调一遍,没有证明。我们明确知道π是无限不循环的,仅此而已;剩下的都是猜想。

不过还是有人开玩笑地设计了一套文档系统“πfs”,你的所有的数据都(很可能)存在π的某一个地方,所以不需要你亲自记住这些数据,只要记住这些数据在π的哪里就行了。



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 楼主| 发表于 2017-3-28 20:00:14 | 显示全部楼层


3

重力加速度g

差一点就是π的平方根了

你算过π的平方吗?掏出计算器算一下看看,你会发现它约等于9.87。做过高中物理题的同学可能会意识到,这和地球表面的重力加速度g——9.81m/s^2——在数值上只差一点儿啊。

其实,不但是数值上差一点儿,而且是差一点儿就分毫不差了。



π是没有单位的,所以怎么着都是这个数。但是重力加速度是有单位的,所以如果当年对标准单位定义变了,那这个数也会变。而历史上第一个“米”的定义,就恰好能让π^2和g在数值上相等。

但这算不上是巧合,1668年提出这种方案的英国人约翰威尔金斯是根据“秒摆”来定义的。所谓秒摆就是从一头到另一头正好花费1秒的单摆(也就是周期为2秒),他把秒摆的长度定义为1米。

那么,根据单摆的周期公式 T = 2π (L/g)^1/2,T=2秒,L=1米,就立刻能够得出g=π^2 m/s^2。听起来是很方便合理的定义公式嘛。

到了1791年,法国大革命期间,法国科学院要设立一种新的度量衡——也就是今天的米制。竞争的双方,就是秒摆定义和地球周长定义。不过最终科学院选择了周长定义——把1米定义为地球子午线长度的400万分之1。这是因为,当时已经发现重力加速度在地球各个表面是不同的,所以一个秒摆换了地方就不是秒摆了。

不幸的是,这也导致今天的学生面对每道单摆题,都要多花好几个一秒去算数……



为啥老式挂钟要做得这么长?就是因为它们是设定成秒摆的,需要大约1米长的钟摆。

不过按照今天的米的定义,标准重力下的秒摆长度只有 0.994 米。

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 楼主| 发表于 2017-3-28 20:00:15 | 显示全部楼层


4

我有一个π,我有一个e,嗯~

你说啥?

π是无理数,e也是无理数,可是我们竟然不知道π+e, π/e或者lnπ是否是无理数!只知道它们不是八次以下、所有系数都小于10^9的多项式方程的根。

事实上,很多关于π和e的看起来基本的信息,我们都不知道。当然这不是因为π和e本身有多神秘,只是因为和无理数打交道真的是很难。



π:我为什么要讲理?

但是至少我们知道,π+e和πe不可能同时是有理数。这个问题的证明留给读者作为练习(对于高中数学学得好的人而言不难)。

顺便说,π自己直到18世纪才被证明是无理数。后来的数学家提出了一些比较简单的证明,最简单的可能是Ivan Niven的证明(太长了,这里写不下),原则上高中数学学得好的人是可以看懂它的——如果你真的看懂了,请认真考虑报考数学专业。



i 乱入。然而看懂这幅图只能证明你没有朋友(。

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 楼主| 发表于 2017-3-28 20:00:16 | 显示全部楼层


5

可能是最无聊的数学论战:

π是错的吗?

圆的周长被定义为2πr,一个圆的弧度是2π,很多常见公式(比如单摆周期)都有2π,这让一些数学家认为2π才是更基本的常数。美国数学家鲍勃帕莱建议用下面这个符号来代替2π,即圆周与半径的比值——



而另一位美国数学家麦克哈特尔(Michael Hartl)则建立了网站 tauday.com,呼吁人们用希腊字母 τ(tau)来表示“正确的”圆周率 C/r = 6.2831853... 。哈特尔建议大家以后在写论文时,用一句“为方便起见,定义 τ = 2π ”开头,推广这一更为科学的圆周率记号。



支持τ的人建立了τ日(6月28日)来和π日(3月14日)分庭抗礼,每年都会在这两天相互把对方批判一番。不过显然这样的论战对大部分人来说没有意义。正如某位不可考的网友指出的,如果π是错的,τ岂不是两倍的错?



一个折衷的办法……来源:xkcd.com/1292/

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 楼主| 发表于 2017-3-28 20:00:17 | 显示全部楼层


6

π被称为π

只有很短的历史

虽然人们知道π将近4000年,“π”作为代表圆周率的符号被人们使用却是近300年的事情。1706年,英国数学家William Jones 最先使用希腊字母π表示圆周率。π在希腊字母中排行第十六,也是希腊语“周长”的第一个字母。1737年,瑞士大数学家欧拉也开始用π表示圆周率。

所以,在此之前,他们就不能讲关于π和馅饼的冷笑话了,好可怜哦~(画外音:请问谁会有这样的需求啊)



果壳π日特供,吃货研究所出品。请找出上图中一处错误(我为什么要让强迫症好好过节呢?就不,哼~

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 楼主| 发表于 2017-3-28 20:00:18 | 显示全部楼层


7

π日的历史,就更短了……

最早有记录的π日庆祝活动,是1988年3月14日在美国旧金山科学探索馆一位物理学家Larry Shaw的倡议下,工作人员和游客们在探索馆的圆形空间内举行了庆祝活动,并分享了一个水果派。

2009年3月11日,美国众议院通过了一项决议,把3月14日正式确定为全国的“π日”(National Pi Day)。



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 楼主| 发表于 2017-3-28 20:00:19 | 显示全部楼层


8

圆周率出过歌和书(就算了)

居然还出过……月刊

听过π歌吗?不不不,我说的可不是初音未来那个蛇精病般的长达1小时的碎碎念……



2011年,作曲家迈克尔布雷克(Michael Blake)将圆周率的前31位数字(3.1415926535897932384626433832795...)一个个“翻译”成了音符。他利用勋伯格十二平均律中所引入的半音阶概念,将半音阶与数字一一对应,即令1=C,则3=D,5=E,6=F,依此类推。这段小小的曲子每分钟节拍数为157,恰为314的一半。

出书又是怎么回事呢?日本有个很迷的社团,出版过一本书叫做《円周率1000000桁表》,1996年就开始发售了,至今依然可以在日本亚马逊上买到。大约合人民币17元一本。

长成这样:



极具简单粗暴之美_(:з」∠)_

后来嫌不过瘾,又出了《自然常数e100万位》、《素数15万个》,以及《月刊圆周率》杂志。

你没有看错,月刊。每月连载十几万位的π……



记住这个社团的名字。



……简直有毛病(╯‵□′)╯︵┻━┻

好评连载中!想要吗?

(顺便说,这个社团在同人展上的画风也非常迷:



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 楼主| 发表于 2017-3-28 20:00:20 | 显示全部楼层


9

π总是在最奇怪的地方出现

比如——概率论

在几何问题中,圆周率显然很重要;但奇怪的是,π也驰骋于几何以外的其它数学领域,它在概率问题中的频繁出现让人们得以通过实验模拟估算它的值。(当然,多学一点数学,你就会发现其实也没那么奇怪了。)

比如鼎鼎有名的布丰投针问题:地板上画一系列间距为2a的平行线,将一根长度为a的针随机投向地面n次,那么针与平行线相交的概率是多少? 1777年,布丰本人给出了解答——相交概率为1/π。很多人甚至依靠此实验推算π 的近似值。1850年,一位叫沃尔夫的人在投掷5000多次后,得到 π 的近似值为3.1596。由投针问题引入的计算 π 的方法,不但因其奇妙而让人叫绝,而且还开创了随机数处理确定性数学问题的先河。



任意两个整数互质的概率是 6 / π^2,基于这一点,英国伯明翰阿斯顿大学的罗伯特•马修斯计算了天空中100颗亮星间的角距离,并把它们转化为100万对随机数字,其中约61%没有公因数。他得到的π值=3.12772,准确率达到了99.6%。

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 楼主| 发表于 2017-3-28 20:00:21 | 显示全部楼层


10

派和披萨有一个诡异的联系

——除了都很好吃之外

这是一个著名的数学笑话:“一个厚度为a,半径为z的披萨的体积是多少?”答案是:“pizza。”这个结果有时被称为披萨第二定理。当然,这只是圆柱体体积公式的一个简单外推罢了。



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