ok我来说一句吧，我有类似的经验。我老公曾住院，也是很严重在ICU，当时很紧急的想让他爸妈来，也是让医院写了一封信，然后我自己写了一封信（大意就是说，我老公病情严重希望父母来看望，以及说我提供他们住宿和在这里的开销，附上我自己bank statement）。国内应该就是提供了他们的户口本、身份证、护照。其实材料倒不需要很多，而且LZ说的情况，既然学校都跟英国大使馆联系了，估计他们不会那么强求材料的。
有一个问题是，不知道这位同学家长在什么城市签证。我本人的case是在上海签证，那里好像没有楼上有人所说的紧急签证，都是通过签证中心递的材料，根本见不到签证官的。当时问过，貌似那里根本没有紧急签证，所有签证都一视同仁的。而且当时正值Xmas假期后，英国大使馆积压了很多申请，所以很慢，最后等了一个月才拿到签证！
我个人感觉这个跟当时是签证旺季有关，所以那么慢，还有我公婆以前没有来过英国，所以可能审查慢。像我父母申请来这里探亲，2-3天就拿到签证了，他们也没急事。Anyway，我觉得你们都跟大使馆说了，应该不会太慢，我们当时根本没跟大使馆说过什么。材料当时正好有人乘飞机回国，就这样带回去的，快递我看还得浪费几天。